文章一一七：学生对学问美的体验谁能知

 以下文章已刊登于04/02/2024【东方日报】：
https://www.orientaldaily.com.my/news/wenhui/2024/02/04/628674

       2022年的PISA数学题中有一道要求学生不用量角器得出转盘上两个扇形的圆心角。题目概述如下：准备一转盘，将其一面划分成黄紫橙绿四个不同大小的扇形区域。扇形面积依序为黄最大绿最小，而其中橙绿扇形的圆心角已知（图一）。学生可启动七次模拟器转动转盘，转动次数分别设置为10、50、100、500、1000、5000和10000。每启动一次模拟器，转盘上的箭头落在四个不同区域的次数和百分比马上会列在表格中（表一）。学生需通过实验找出黄紫扇形的圆心角。

图一

     解这一道题，要求学生事前『明白』，扇形面积越大，其圆心角就越大。这其实直观图一即可知。稍微间接一点的是要求学生知道，扇形圆心角越大，其占一周角（360度）的百分比也就越高。

      完成实验后，要依据实验结果成功解题，学生就得能『发现』，已知的橙绿扇形圆心角占一周角的百分比，其实是和转动10000次转盘的实验中，箭头落在橙绿色区域的概率（用百分比表示）是非常接近的。

表一

       这个发现不是单纯发现数字的吻合，而是发现概率和扇形圆心角的内在关系。既然内在关系成立，则通过推理即可从表一展示的黄紫区域的概率，得出此两扇形圆心角占一周角的百分比，进而算出圆心角。注意，扇形圆心角占一周角的比例以百分比表示，转盘上箭头落在不同区域的概率也以百分比表示，这成了两者得以连接起来的桥梁，也是学生得以『发现』的契机。

      为什么题目要提供七种不同转动次数的选项？因为转动次数大所得的概率更准确。明白概率这一性质的学生，自然会马上把注意力放在5000 甚或10000次转动的实验上，而不是每个选项做一遍。

      这是一道要求学生明白（扇形、概率等基本概念等）、计算（百分比、圆心角等）和发现（圆心角和概率的关系）的题目。能成功解题的学生，我们相信他们明白、能计算、已发现。试题能测量的一般上就是这些东西，即知识和技能。我个人解了这道题后因发觉『原来测量圆心角未必要用量角器』这一点而内心产生美感，我相信许多学生也会有相似的感觉。我是要借这道PISA数学题说明，试题一般上都很难测出学生对学问的美感。

      对学问之美的体验在我国的教育一向不受重视，老师的教不重视，学生的学也不重视，考题的设计和作答也不动这一块。拿数学和需以数学为重要工具的一些自然科学而言，我们的教学常强调计算能力和速度，学生一般在计算方面不成问题（那些高中毕业后连基本的运算都不行的就别提了），但常常不知道自己在算什么，每一个步骤的背后原因是什么说不出来，对逻辑推理是否成立无法自己检验，对计算结果不懂得诠释，更别谈对整个解题过程的鉴赏了。

      如果不自我设限在试题，其实还有其他管道可以评估学生对学问之美的体验。同样是考满分的学生，只要通过面谈、讨论，之间的差异，哪个只有知识和技能哪个还有热情，老师和父母不难明白地看在眼里。我之所以把父母也纳入，因为其实孩子对学问的感觉，在家庭生活中也时常会表露出来的。

老师和父母理应善用这些管道，因为其中的信息可以比从学校正规考试中所得的信息更加重要。只是这样的评估角度需要对学问有一定的认识和热爱，还盼望大家基于对孩子教育的关心，愿意进修提升自己。这样的评估也要求老师和父母不时和孩子聊天，这方面往往更难腾出的是意愿，之后才是时间。每天与孩子在一起的老师和父母若忽略、舍弃此类管道，只依赖试题评估孩子，无非是以管窥天。而只凭考题所测得的去规划孩子的未来，难以帮助孩子踏上符合个性的升学道路。